Naked Statistics هو الكتاب الأكثر إثارة للاهتمام حول العلوم الأكثر مللاً

2024 مؤلف: Malcolm Clapton | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 03:46

من قال أن الإحصاء علم ممل وعديم الفائدة؟ يجادل تشارلز ويلان بشكل مقنع بأن هذا أبعد ما يكون عن القضية. ننشر اليوم مقتطفًا من كتابه حول كيفية الفوز بسيارة ، وليس عنزة ، باستخدام الإحصائيات ، ونفهم أن الحدس يمكن أن يضللك.

مونتي هول ريدل

لغز مونتي هول هي مشكلة شهيرة في نظرية الاحتمالات حيرت المشاركين في عرض لعبة يسمى دعونا نصنع صفقة ، لا يزال يحظى بشعبية في العديد من البلدان ، والذي تم عرضه لأول مرة في الولايات المتحدة في عام 1963. (أتذكر في كل مرة أشاهد فيها هذا العرض عندما كنت طفلاً ، عندما لم أذهب إلى المدرسة بسبب المرض). في مقدمة الكتاب ، أشرت بالفعل إلى أن عرض الألعاب هذا يمكن أن يكون ممتعًا للإحصائيين. في نهاية كل إصدار ، وقف المشارك الذي وصل إلى النهائيات مع مونتي هول أمام ثلاثة أبواب كبيرة: الباب رقم 1 والباب رقم 2 والباب رقم 3. وأوضح مونتي هول للمتسابق النهائي أنه خلف واحد من هذه الأبواب كانت جائزة قيمة للغاية - على سبيل المثال سيارة جديدة وماعز خلف البابين الآخرين. كان على المتسابق أن يختار أحد الأبواب ويحصل على ما خلفه. (لا أعرف ما إذا كان هناك شخص واحد على الأقل من بين المشاركين في العرض أراد الحصول على ماعز ، ولكن من أجل البساطة ، سنفترض أن الغالبية العظمى من المشاركين حلموا بسيارة جديدة.)

من السهل تحديد الاحتمال الأولي للفوز. هناك ثلاثة أبواب ، اثنان يخفيان ماعز ، والثالث يخفي سيارة. عندما يقف أحد المشاركين في العرض أمام هذه الأبواب مع مونتي هول ، يكون لديه فرصة واحدة من بين ثلاث فرص لاختيار الباب الذي توجد خلفه السيارة. ولكن ، كما هو مذكور أعلاه ، هناك ميزة في Let’s Make a Deal خلّد هذا البرنامج التلفزيوني ومقدمه في الأدبيات حول نظرية الاحتمالات. بعد أن يشير المتأهل للنهائي من العرض إلى أحد الأبواب الثلاثة ، يفتح Monty Hall أحد البابين المتبقيين ، حيث يوجد دائمًا ماعز. ثم يسأل مونتي هول المتأهل للنهائي ما إذا كان يريد تغيير رأيه ، أي التخلي عن الباب المغلق المحدد مسبقًا لصالح باب مغلق آخر.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن المشارك أشار إلى الباب رقم 1. ثم فتح مونتي هول الباب رقم 3 ، الذي كان يختبئ وراءه الماعز. يظل بابان ، الباب رقم 1 والباب رقم 2 ، مغلقين. إذا كانت الجائزة القيمة وراء الباب رقم 1 ، لكان المتسابق قد فاز بها ، وإذا كانت خلف الباب رقم 2 ، لكان قد خسر. في هذه المرحلة ، يسأل مونتي هول اللاعب عما إذا كان يريد تغيير اختياره الأولي (في هذه الحالة ، تخلى عن الباب رقم 1 لصالح الباب رقم 2). سوف تتذكر بالطبع أن كلا البابين لا يزالان مغلقين. المعلومات الجديدة الوحيدة التي تلقاها المشارك هي أن الماعز انتهى بها الأمر خلف أحد البابين اللذين لم يخترهما.

هل يجب على المتأهل للتصفيات النهائية التخلي عن الاختيار الأولي لصالح الباب رقم 2؟

أجبت: نعم ، ينبغي. إذا تمسك بالاختيار الأصلي ، فسيكون احتمال الفوز بجائزة قيمة ⅓ ؛ إذا غير رأيه وأشار إلى الباب رقم 2 ، فإن احتمال الفوز بجائزة قيمة سيكون ⅔. إذا كنت لا تصدقني ، واصل القراءة.

أعترف أن هذه الإجابة بعيدة كل البعد عن الوضوح للوهلة الأولى. يبدو أنه أياً كان البابان المتبقيان الذي يختاره المتأهل للتصفيات النهائية ، فإن احتمال الحصول على جائزة قيمة في كلتا الحالتين هو ⅓. هناك ثلاثة أبواب مغلقة. في البداية ، يكون احتمال إخفاء جائزة قيمة وراء أي منها ⅓. هل يُحدث قرار المتسابق النهائي بتغيير اختياره لصالح باب مغلق آخر أي فرق؟

بالطبع ، بما أن المصيد هو أن مونتي هول يعرف ما وراء كل باب.إذا اختار المتأهل للنهائي الباب رقم 1 وكان هناك بالفعل سيارة خلفه ، فيمكن لمونتي هول فتح الباب رقم 2 أو الباب رقم 3 للكشف عن الماعز الكامن خلفه.

إذا اختار المتأهل للنهائي الباب 1 وكانت السيارة خلف الباب 2 ، فسيفتح مونتي هول الباب 3.

إذا أشار المتأهل للنهائي إلى الباب 1 وكانت السيارة خلف الباب 3 ، فسيفتح مونتي هول الباب 2.

من خلال تغيير رأيه بعد أن فتح المقدم أحد الأبواب ، يكتسب المتأهل للنهائي ميزة اختيار بابين بدلاً من باب واحد. سأحاول إقناعك بصحة هذا التحليل بثلاث طرق مختلفة.

الأول تجريبي. في عام 2008 ، كتب كاتب العمود في نيويورك تايمز جون تيرني عن ظاهرة مونتي هول. بعد ذلك ، طور طاقم المنشور برنامجًا تفاعليًا يسمح لك بلعب هذه اللعبة وتقرر بشكل مستقل ما إذا كنت تريد تغيير اختيارك الأولي أم لا. (يوفر البرنامج حتى الماعز الصغيرة والسيارات الصغيرة التي تظهر من خلف الأبواب.) يسجل البرنامج أرباحك في حالة تغيير اختيارك الأولي ، وفي حالة عدم اقتناعك بذلك. دفعت لإحدى بناتي هذه اللعبة 100 مرة ، مع تغيير اختيارها الأصلي في كل مرة. لقد دفعت أيضًا لأخيها مقابل لعب اللعبة 100 مرة أيضًا ، مع الاحتفاظ بالقرار الأصلي في كل مرة. وفازت الابنة 72 مرة. شقيقها 33 مرة. كل جهد كان يكافأ بدولارين.

تُظهر الأدلة المستمدة من حلقات لعبة Let's Make a Deal النمط نفسه. وفقًا لليونارد ملودينوف ، مؤلف كتاب The Drunkard's Walk ، فإن احتمالية فوز هؤلاء المتأهلين للتصفيات النهائية الذين غيروا خيارهم الأولي كانت ضعف احتمال فوز أولئك الذين لم يقتنعوا.

تفسيري الثاني لهذه الظاهرة مبني على الحدس. لنفترض أن قواعد اللعبة قد تغيرت قليلاً. على سبيل المثال ، يبدأ المتأهل للنهائي باختيار أحد الأبواب الثلاثة: الباب رقم 1 ، والباب رقم 2 ، والباب رقم 3 ، كما هو مخطط أصلاً. لكن قبل فتح أي من الأبواب التي يختبئ خلفها الماعز ، يسأل مونتي هول: "هل توافق على التخلي عن اختيارك مقابل فتح البابين المتبقيين؟" لذا ، إذا اخترت الباب رقم 1 ، يمكنك تغيير رأيك لصالح الباب رقم 2 والباب رقم 3. إذا أشرت إلى الباب رقم 3 أولاً ، يمكنك تحديد الباب رقم 1 والباب رقم 2. وهكذا.

لن يكون هذا قرارًا صعبًا بشكل خاص بالنسبة لك: من الواضح تمامًا أنه يجب عليك التخلي عن الخيار الأولي لصالح البابين المتبقيين ، لأن هذا يزيد من فرص الفوز من ⅓ إلى ⅔. الشيء الأكثر إثارة للاهتمام هو أن مونتي هول يقدم لك لعبة حقيقية ، بعد فتح الباب الذي يختبئ وراءه الماعز. الحقيقة الأساسية هي أنه إذا أتيحت لك الفرصة لاختيار بابين ، فسيتم إخفاء ماعز خلف أحدهما على أي حال. عندما يفتح Monty Hall الباب الذي يوجد خلفه الماعز ، وعندها فقط يسألك إذا كنت توافق على تغيير اختيارك الأولي ، فإنه يزيد بشكل كبير من فرصك في الفوز بجائزة قيمة! في الأساس ، يخبرك مونتي هول ، "فرص اختباء جائزة قيمة خلف أحد البابين اللذين لم تخترهما في المرة الأولى هي ⅔ ، والتي لا تزال أكثر من ⅓!"

يمكنك تخيلها على هذا النحو. لنفترض أنك أشرت إلى الباب رقم 1. بعد ذلك ، يمنحك مونتي هول الفرصة للتخلي عن القرار الأصلي لصالح الباب رقم 2 والباب رقم 3. أنت توافق ولديك بابان تحت تصرفك ، مما يعني أن لديك يتوقع كل سبب الفوز بجائزة قيمة مع احتمال ⅔ وليس. ماذا كان سيحدث لو أن مونتي هول قد فتح الباب 3 في هذه اللحظة - أحد أبواب "ك "- وكان هناك عنزة خلفه؟ هل ستهز هذه الحقيقة ثقتك بقرارك؟ بالطبع لا. إذا كانت السيارة مختبئة خلف الباب 3 ، فإن مونتي هول سيفتح الباب 2! لن يظهر لك أي شيء.

عندما يتم لعب اللعبة وفقًا لسيناريو خروج المغلوب ، يمنحك Monty Hall حقًا الاختيار بين الباب الذي حددته في البداية والبابين المتبقيين ، أحدهما يمكن أن يكون سيارة. عندما يفتح مونتي هول الباب الذي يختبئ خلفه الماعز ، فإنه ببساطة يقدم لك معروفًا من خلال إظهار أي من البابين الآخرين ليس السيارة. لديك نفس احتمالات الفوز في كلا السيناريوهين التاليين.

1. اختيار الباب رقم 1 ، ثم الموافقة على "التبديل" إلى الباب رقم 2 والباب رقم 3 حتى قبل فتح أي باب.
2. اختيار الباب رقم 1 ، ثم الموافقة على "التبديل" إلى الباب رقم 2 بعد أن يظهر مونتي هول الماعز خلف الباب رقم 3 (أو اختيار الباب رقم 3 بعد مونتي هول يظهر لك الماعز خلف الباب رقم 2).

في كلتا الحالتين ، يمنحك التخلي عن القرار الأصلي ميزة وجود بابين على واحد ، وبالتالي يمكنك مضاعفة فرصك في الفوز من ⅓ إلى ⅔.

خياري الثالث هو نسخة أكثر راديكالية من نفس الحدس الأساسي. لنفترض أن مونتي هول يطلب منك اختيار واحد من 100 باب (بدلاً من باب واحد من ثلاثة). بعد القيام بذلك ، قل بالإشارة إلى الباب رقم 47 ، يفتح الباب 98 المتبقي ، والذي سيكشف عن الماعز. الآن بقي بابان فقط مغلقين: بابك رقم 47 وآخر ، على سبيل المثال ، باب رقم 61. هل يجب أن تتخلى عن اختيارك الأولي؟

بكل تأكيد نعم! هناك احتمال بنسبة 99 بالمائة أن تكون السيارة خلف أحد الأبواب التي لم تخترها في البداية. قام مونتي هول بلطف من خلال فتح 98 من هذه الأبواب ، ولم تكن هناك سيارة خلفهم. وبالتالي ، هناك فرصة واحدة فقط من كل 100 أن يكون اختيارك الأولي (الباب رقم 47) صحيحًا. في الوقت نفسه ، هناك احتمال 99 من 100 أن اختيارك الأولي كان خاطئًا. إذا كان الأمر كذلك ، فإن السيارة تقع خلف الباب المتبقي ، أي الباب رقم 61. إذا كنت تريد اللعب باحتمالية الفوز 99 مرة من 100 ، فعليك "التبديل" إلى الباب رقم 61.

باختصار ، إذا اضطررت إلى لعب Let's Make a Deal ، فستحتاج بالتأكيد إلى التراجع عن قرارك الأصلي عندما يمنحك Monty Hall (أو من سيحل محله) خيارًا. الاستنتاج الأكثر شمولية من هذا المثال هو أن تخميناتك البديهية حول احتمالية وقوع أحداث معينة يمكن أن تضللك في بعض الأحيان.